【指数法則】なぜ10の0乗が1なのか理由を説明できますか【解説】

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こんにちは。タクマ™ [@suwaru_blog] です。

以前、十進法・二進法とはなにか?…を解説しました。

その中で 10^0 は 1 だとサラっと言いましたが、理屈っぽく説明していませんでした。

10 を 0 回かけて 1 …?

なにを言っているのか、よくわからないと思います。

今回は指数の基本的な考え方と「指数法則」について解説します!

指数が 0 の場合・マイナスの場合について

10^n について考えてみよう!

10^0

10 進法における 1 は 10 の 0 乗 という意味でした。

これを 「10 を 0 回かけたもの」という解釈をするとイミフですね。
実際に計算しながら整理してみましょう。

  • 10^5 = 100000
  • 10^4 = 10000
  • 10^3 = 1000
  • 10^2 = 100
  • 10^1 = 10
  • 10^0 = 1

指数が 1 減ると、数が 10 分の 1 になる」と考えると、どうでしょう?
こっちのほうが直感的で理解しやすいはずです。

10^-1

先程の「指数が 1 減ると、数が 10 分の 1 になる」ルールを適用すれば、
指数がマイナスになっても混乱しないと思います。

  • 10^0 = 1
  • 10^-1 = 1/10
  • 10^-2 = 1/100
  • 10^-3 = 1/1000
  • 10^-4 = 1/10000
  • 10^-5 = 1/100000

つまり「10^n の n が 1 減ると、数が 10 分の 1になる」とおぼえましょう。

2^n について考えてみよう!

2^0

さっきのルールを応用すれば 2 進法でも同じ考え方ができます。

  • 2^5 = 32
  • 2^4 = 16
  • 2^3 = 8
  • 2^2 = 4
  • 2^1 = 2
  • 2^0 = 1

ここでは「指数が 1 減ると、数が 2 分の 1 になる」と考えましょう。

2^0 = 1 であることを知識として暗記するのではなく、
ルール化した結果、どういう答えになるのが妥当か?ということを意識しましょう。

2^-1

ここまで来るともう大丈夫ですね?

  • 2^0 = 1
  • 2^-1 = 1/2
  • 2^-2 = 1/4
  • 2^-3 = 1/8
  • 2^-4 = 1/16
  • 2^-5 = 1/32

つまり「2^n の n が 1 減ると、数が 2 分の 1」になります。

10^n と 2^n のまとめ

乗数計算方法
10^51 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10
10^41 * 10 * 10 * 10 * 10
10^31 * 10 * 10 * 10
10^21 * 10 * 10
10^11 * 10
10^01
10^-11 / 10
10^-21 / 10 / 10
10^-31 / 10 / 10 / 10
10^-41 / 10 / 10 / 10 / 10
10^-51 / 10 / 10 / 10 / 10 / 10
乗数計算方法
2^51 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
2^41 * 2 * 2 * 2 * 2
2^31 * 2 * 2 * 2
2^21 * 2 * 2
2^11 * 2
2^01
2^-11 / 2
2^-21 / 2 / 2
2^-31 / 2 / 2 / 2
2^-41 / 2 / 2 / 2 / 2
2^-51 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2

指数法則

上の表の指数に注目したもので「指数法則」というものがあります。
これは十進法でも二進法でも使える公式です。

  • N^a * N^b = N^a+b
    • たとえば 10^2 * 10^310^2+3 の答えは 100000 で一緒になっていますね
    • 同様に 2^-2 * 2^-3  と ^2-5 の答えも 1/32 で一緒になります

指数はコンピュータサイエンスの基礎です。
指数が 0 になったり、マイナスになることはよくあるので理解しておいてください。

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