【累乗の逆】むかし数学で習った「対数」を超やさしく解説【log】

こんにちは。iQeda [@iQeeeda] です。

プログラムの計算時間を評価するときなどに「対数」という言葉がでてきます。
だいたい「累乗」という言葉とセットででてきます。

大きい累乗は指数的爆発が起きやすい…と以前説明しました。
そもそも大きい累乗を計算するのは大変です。

10 を底とする対数

対数とは

100000 という数字の 0 の個数は 5 ですね。これは、

…といった色々な言い方ができます。

たとえば 100000 の対数は 5、100 の対数は 2、1000 の対数は 3 といえます。
10000000000000000 なら、その対数は 16 です。

巨大な数字はパっと見だと何桁か分からないですが、対数なら小さい数字で表現できます。
つまり巨大な数字は対数を取ると扱いやすくなるといえます。

底 (基数) とは

もう少し正確に対数を表現してみます。

…と言うことができます。

つまり「1000 は 10 の 何乗か？」を考えればよいので、
1000 に 0 が何個あるのか注目していたわけです。

底 (基数) をもっと深く知りたい方は

対数を log 表記する

次の 2 つの文は同じことを言っています。

累乗と対数は逆の計算方法をとっているのです。

累乗と対数は逆の関係

累乗と対数の関係性を説明します。

対数は英語で logarithm (ロガリスム) なので log[10]10000 のように表記されます。
対数はあくまで「累乗の逆」とだけ意識しておけば大丈夫です。

対数クイズ

log[10]1000 の値はいくつ？

log[10]1000 の値は 3 です。
逆に 10^3 の値は 1000 になります。

log[10]10^3 の値はいくつ？

10^3 は 1000 なので、log[10]1000 と全く同じです。答えは 3 です。

基数 10 の指数 3 がそのまま答えになっていることに注目してください。

10^log[10]1000 の値はいくつ？

まず log[10]1000 は log[10]10^3 のことでした。
そして log[10]10^3 の値は 3 でした。

なのでこの問題は 10^3 のことを聞いてるだけなので、答えは 1000 となります。
10^log[10]1000 の最後の 1000 がそのまま答えになっていることに注目してください。

2 を底とする対数

ここまでは 10 を底とする対数の説明をしてきました。

log[10]1000 は「底 10 を何乗したら 1000 になるか」を表していますが、
この考え方は 2 を底とする対数でも同じです。

log[2]8 は「底 2 を何乗したら 8 になるか」を表しています。

対数クイズ

log[2]2 の値はいくつ？

log[2]2 の値は 1 です。
逆に 2^1 の値は 2 になります。

log[2]256 の値はいくつ？

log[2]256 の値は 8 です。
逆に 2^8 の値は 256 になります。

指数法則と対数

10^a * 10^b = 10^a+b とできることを「指数法則」といいます。

具体例

指数法則の例をあげると 10^2 * 10^3 = 10^5 のようになります。答えは 100000 です。
指数 2 と 指数 3 の足し算が行われています。

そして指数を得るには、対数を得ればよいことになりますね。

100 * 1000 という掛け算を「指数の足し算10^2+3 に変換」しているのですね。

対数のメリットは「掛け算を指数の足し算に変換できること」だと思って大丈夫です。

対数を使って指数法則を一般化する

先ほどの具体例を一般化すると log[10](A * B) = log[10]A + log[10]B になります。

底が書かれていない対数 (logN)

よく使う「底」はしばしば省略されます。※ 通常 10 の底が省略されます。
例えば log[10]5 は log 5 と書かれることがあるので覚えておきましょう。

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