【公式】組み合わせと順列の違い・見分け方【重複度を使う計算方法】

こんにちは。タクマ™ [@suwaru_blog] です。

前回、置換・順列を解説しました。こちらは「順序を考える」並べ方でした。

置換・順列は「並べ方・選び方はどうでもよくて、パターンだけ網羅したい」ときには使えません。

組み合わせとは

5 枚のカード A, B, C, D, E を持っています。
いきなり本題ですが、この 5 枚のカードから順序を考えずに 3 枚を選び出してみます。

この「順序を考えずに」という言葉が意味することは、
たとえば ABE, BAE といった同じカードで構成されたものは同じと判断します。

このような順番を気にしない選び方を「組み合わせ」といいます。

組み合わせの総数

数式で組み合わせを求める方法を説明します。以下のやり方に従えば OK です。

では、こちらを詳しく説明していきます。

重複度とは

シンプルに 3 枚のカードの並び順を考えてみます。
A, B, C という 3 枚のカードの並べ方 (置換) は 6 パターンです。

順列では、この 6 パターンを「すべて別の並べ方」としてカウントしますが、
組み合わせでは、この 6 パターンを「 1 つのグループ」としてカウントします。

よって「順列の総数」を 6 で割れば「組み合わせの総数」を求めることが可能です。

重複度の求め方

ここでは 5 枚のカードから 3 枚のカードを選ぶので、
3 枚の置換の総数 3P3 (3 * 2 * 1) から 6 という重複度を得ることができます。

5 枚から 3 枚を選ぶ組み合わせの総数

※ C は combination の略です

5C3 は 5 枚から 3 枚を選ぶ「順列」の総数 / 3 枚の「置換」の総数 のことです。
これは 5P3 / 3P3 で表せますね。

計算すると (5 * 4 * 3) / (3 * 2 * 1) で 10 になります。
よって 5 枚から 3 枚を選ぶ組み合わせの総数は 10 通りです。

組み合わせの総数の一般化

n 枚のカードから k 枚をまとめて選び出す組み合わせの総数を求めるとしましょう。

nCk はn 枚から k 枚を選ぶ「順列」の総数 / k 枚の「置換」の総数 のことです。
これは nPk / kPk で表せますね。

組み合わせの総数の値

組み合わせの総数について、いくつか例を示します。

階乗を使った組み合わせの総数の表現

組み合わせの総数 nPk / kPk は「階乗の表記方法」を使うと (n! / (n - k)!) / k! で、
これをまとめると n!/(n - k)!k! とすることができます。

置換・順列・組み合わせの関係性

ここで置換・順列・組み合わせの関係性を整理してみます。

表にまとめる

置換 – 3P3

組み合わせ – 5C3

順列 – 5P3

3P3 * 5C3 = 5P3

表を見ると、以下の関係がハッキリします。

薬品の調合クイズ

粒状になった A, B, C の 3 種類の薬品があり、以下のルールに従って新薬調合を行います。

重複組み合わせ

5 粒で考える

100 粒じゃなく、まず 5 粒という小さいスケールで考えてみます。
また「順序が問われない」なら、A, B, C と順序を固定して考える方がシンプルです。

これは「仕切りの置き場所の組み合わせ」の問題

そして 5 粒を並べたとき、2 本の「仕切り」で区切るイメージを持ってみましょう。
| を仕切りに見立てると、AA | BB | C のようなイメージです。

このルールを適用すると A, B, C の存在を特に意識せずに、
「仕切りの置き場所の組み合わせ」の問題として捉えることができます。

仕切りは何箇所に置けるか

5 粒の薬を「○」、仕切りが置ける場所を「▼」で表すと ○▼○▼○▼○▼○ になります。
仕切りを置ける場所は 4 箇所です。

この 4 箇所から 2 箇所の仕切りを置く場所を決める組み合わせは 4C2 です。
これが 5 粒の場合の答えになります。

n 粒 k 種類の薬品で考える

仕切りの結果を一般化してみましょう。

この数字を使うと、調合法の総数は n-1Ck-1 となります。

100 粒で考える

したがって 100 粒を 3 種類の薬品から選ぶ方法の総数は 100-1C3-1 なので 99C2 です。
計算すると (99 * 98) / (2 * 1) で、答えは 4841 通りです。

少なくとも一端がジョーカークイズ

トランプが 5 枚あります。内訳は J, Q, K, ジョーカー, ジョーカーです。
この 2 枚のジョーカーは区別がないものとします。

このトランプを横一列に並べるとき、
左端・右端の少なくとも一端がジョーカーになる並べ方は何通りでしょうか。

順列から組み合わせを求める

ジョーカーを区別して数えて「順列」を求めた上で、
ジョーカーの重複度で割れば「組み合わせ」を求めることができます。

左端がジョーカーの場合

ジョーカーそれぞれを X1, X2 で区別するとします。
その場合、左端にくるジョーカーは X1, X2 どちらか 2 通りです。

どちらか選んだら、残り 4 枚は自由に並べることができます。
なので 左端のジョーカーの選び方 * 残り 4 枚の置換 です。

これを数式にすると 2 * 4P4 で、これは 2 * 4! で計算できます。
左端がジョーカーの場合の順列は 48 通りです。

右端がジョーカーの場合

左右入れ替わるだけなので、こちらも同じ計算方法です。
右端がジョーカーの場合の順列は 48 通りです。

両端がジョーカーの場合

「少なくとも一端がジョーカー」という条件には、両端がジョーカーの場合も含まれます。
両端のジョーカーの並べ方は 2P2 通りですね。

両端のジョーカーが決まったら、残り 3 枚は自由に並べることができます。
なので 両端のジョーカーの選び方 * 残り 3 枚の置換 です。

これを数式にすると 2P2 * 3P3 で、これは 2! * 3! で計算できます。
両端がジョーカーの場合の順列は 12 通りです。

左端・右端のときの並べ方を合わせると 48 + 48 で 96 通りになりますが、
それぞれの並べ方には「両端がジョーカーの場合」が含まれています。

単純に足し算すると、「両端がジョーカーの場合」が重複するので引き算してあげる必要があります。
よって 96 - 12 で 84 通りです。

最後にジョーカー 2 枚の重複度 2P2 で割ればいいので、答えは 84 / 2 で 42 通りです。

論理を使う

「少なくとも一端がジョーカーになる」の否定は「両端ともジョーカーではない」です。

すべての並べ方

5 枚を区別して置換を求め、ジョーカーの重複度 2 で割ることで組み合わせがわかります。
よって 5P5/2 を計算して、5! / 2 から 60 通り、と求めることができます。

両端ともジョーカーではない並べ方

ジョーカーではないカードは J, Q, K の 3 枚です。
このうちの 2 枚が両端に選ばれるのは 3P2 通りです。

残りは 3 枚なので、それは 3P3 通りあります。

この 2 つを掛けて、ジョーカーの重複度 2 で割ることで組み合わせがわかります。
よって (3P2 * 3P3) / 2 を計算して 18 通り、と求めることができます。

「少なくとも一端がジョーカーになる」は「すべての並べ方の数」から「両端ともジョーカーではない」を引けばよかったので、答えは 60 - 18 で 42 通りです。

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